证明线面垂直的条件(线与面垂直的判定定理)

2024-02-02 19:37:13 解铭网

摘要如何用面面垂直证明 线面垂直如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。求证:OP⊥β。证明:过O...

证明线面垂直的条件(线与面垂直的判定定理)

如何用面面垂直证明 线面垂直

如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。

求证:OP⊥β。

证明:过O在β内作OQ⊥l,则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β

∴∠POQ=90°,即OP⊥OQ

∵OP⊥l,l∩OQ=O,l⊂β,OQ⊂β

∴OP⊥β

扩展资料:

性质定理:

性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。

推论:空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)

由性质定理2可知,过空间内一点(无论是否在已知平面上),有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。

1、点在平面外:

设点P是平面α外的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。

作法:

①在α内任意作一条直线l,并过P作PA⊥l,垂足为A。

此时,若PA⊥α,则所需PQ已作出;若不是这样,

②在α内过A作m⊥l。

③过P作PQ⊥m,垂足为Q,则PQ是所求直线。

证明:

由作法可知,l⊥PA,l⊥QA

∵PA∩QA=A

∴l⊥平面PQA

∴PQ⊥l

又∵PQ⊥m,且m∩l=A,m⊂α,l⊂α

∴PQ⊥α

2、点在平面内:

设点P是平面α内的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。

作法:

①过平面外一点A作AB⊥α,作法见上。

②过P作PQ∥AB,PQ是所求直线。

证明:

由性质定理3可知,若作出了AB⊥α,PQ∥AB,那麼PQ⊥α。

参考资料来源:百度百科-面面垂直

线面垂直怎么证明

线面垂直的证明方法如下:

1、利用定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。

2、利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

3、利用面面垂直的性质:两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,则这条直线与另一个平面垂直。

4、空间向量法:即证明直线的向量与平面的法向量平行,就可以说明该直线与平面垂直。

空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)过空间内一点(无论是否在已知平面上),有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。

任选两个面中的一个,在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内,所以一定能做出来。然后,因为线线垂直,相交线也在另一个面内,做的线在另一面外,所以线面垂直。直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

证线面垂直需要哪些条件

①直线垂直于平面内两条非平行的线,则直线垂直于该平面。

②直线的两条不平行的垂线与平面平行,则直线垂直于该平面。

③有A、B两个面都与C平面垂直,则A、B两个面的交线也垂直于C平面。

④直线垂直于与A平面平行的B平面,则直线垂直于A平面。

⑤直线任意点在平面上的投影都重合,则直线垂直于该平面。

⑥直线上任意点到平面的距离,都等于这一点到线面交点的距离,则直线垂直于该平面。

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