锐角三角形三边平方关系证明(共角三角形定理)

一、【数学】证明任意三角形的三边平方的不等关系(不能用余弦定理)

1、设AB=c AC=b BC=a设a最大即角A为钝角过A过高

2、设AD=d CD>BD(因为B与C实际上是对称的,一样的) BD=m

3、由勾股定理得 c^2=d^2+m^2① b^2=b^2②

4、a^2=(b+m)^2+c^2=b^2+m^2+2bm+c^2③

5、由③-①-②得 a^2-b^2-c^2=2bm>0证毕

6、再证明如果满足b^2+c^2<a^2则它一定是钝角三角形

7、可知cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc因为b^2+c^2<a^2

8、所以cosA<0即角A是钝角可知假设成立

9、那么如果知道b^2+c^2<a^2则它一定是钝角三角形,不可能是锐角和直角,如果b^2+c^2=a^2则它是直角,不可能为锐角

10、所以只有当 b^2+c^2>a^2才有可能是锐角

11、同理亦可知,只有当三角形为锐角三角形时b^2+c^2>a^2

12、这个证明是我从网上看的，借花献佛了。我只会余弦定理因为最简单了，大边对大角，立即搞定。

二、一般三角形三边平方的关系

1、楼上的方法太复杂了,用流行的话说,那就是不环保

2、设AB=c AC=b BC=a设a最大即角A为钝角过A过高

3、设AD=d CD>BD(因为B与C实际上是对称的,一样的) BD=m

4、由勾股定理得 c^2=d^2+m^2① b^2=b^2②

5、a^2=(b+m)^2+c^2=b^2+m^2+2bm+c^2③

6、由③-①-②得 a^2-b^2-c^2=2bm>0证毕

7、再证明如果满足b^2+c^2<a^2则它一定是钝角三角形

8、可知cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc因为b^2+c^2<a^2

9、所以cosA<0即角A是钝角可知假设成立

10、那么如果知道b^2+c^2<a^2则它一定是钝角三角形,不可能是锐角和直角,如果b^2+c^2=a^2则它是直角,不可能为锐角

11、所以只有当 b^2+c^2>a^2才有可能是锐角

12、同理亦可知,只有当三角形为锐角三角形时b^2+c^2>a^2

三、锐角三角形、钝角三角形三边的关系是怎样的

1、锐角三角形三边关系：两边平方和大于第三边平方。

2、钝角三角形三边关系：两短边平方和少于钝角所对边的平方。

3、证明很简单，利用余弦定理一步可证。

4、设锐角三角形的三边a<b<c，则 a²+b²>c²；锐角三角形的每条高均在三角形内；三个内角和180°，外角和360°；设锐角三角形的三边为a、b、c，则a+b>c（三角形共性）。

5、一个角是钝角的三角形就是钝角三角形（显然只可能有一个角是钝角）。钝角三角形有三条高，其中有两条在三角形外部。

6、钝角三角形的两条高在钝角三角形的外部，另一条在三角形内部。钝角三角形中，两个锐角度数之和小于钝角度数。

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